Số nguyên tố là gì 131

Mục lục

Euclid với thuật toán số nguyên tố

 

Euclid là nhà toán học lỗi lạc người Hy Lạp. Ông sống vào khoảng thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Ông được coi là “cha đẻ của Hình học”. Những kiến thức của phân môn Hình học được ông tổng kết, hệ thống một cách khoa học và đầy đủ trong bộ sách “Cơ sở”. Đây là giáo trình được đưa vào giảng dạy trong nhà trường từ 2.000 năm nay.

Trong toán học, nền tảng mà học sinh được học từ nhỏ là Số học và Hình học. Euclid đã đóng góp cho nhân loại không chỉ hệ thống Hình học đầy đủ mà ông còn xây dựng một số lý thuyết Số học cơ bản. Trong đó có thuật toán về số nguyên tố mang tên ông: Thuật toán Euclid. Đây được coi như kiến thức cơ bản về hệ thống số.

Khi học Số học, ban đầu là học những phép toán như cộng, trừ, nhân, chia. Từ học phép cộng, ta biết đến phép trừ. Đây là những phép toán tự nhiên, cổ xưa nhất mà loài người biết tới. Sau đó, phép nhân là cộng nhiều số bằng nhau. Từ phép nhân, ta có phép chia là phép toán ngược lại. Chẳng hạn 5 x 7 = 35, ta có 35 : 5 = 7.

Vấn đề đặt ra là: Cho trước một số tự nhiên, hãy viết số đó thành tích của những số nhỏ hơn nó và lớn hơn 1. Ví dụ 35 = 5 x 7. Một cách đơn giản là ta phải thử chia số đó cho tất cả những số nhỏ hơn nó xem phép chia nào không dư. Chẳng hạn, với số 70, ta chia cho 2 được 35. Mà 35 = 5 x 7, suy ra 70 = 2 x 5 x 7. Nghĩa là, từ những số tự nhiên lớn, ta tìm cách chia nó cho một số tự nhiên nhỏ hơn nó, rồi lấy thương mới tìm được chia cho số nhỏ hơn nữa.

Những số như 2, 5, 7 được gọi là số nguyên tố. Đó là những số tự nhiên lớn hơn 1 và không thể chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn nó. Số nguyên tố tuy ra đời một cách tự nhiên từ xa xưa nhưng chứa đựng những bí ẩn lớn mà nhân loại chưa khám phá được nhiều. Không có một quy tắc nào cho phép tìm nhanh những ước nguyên tố của một số tự nhiên bất kỳ. Vì vậy, một trong những ứng dụng quan trọng của số nguyên tố là dùng làm mã hóa bảo mật. Ví dụ, nếu biết chìa khóa là 6 thì mật mã là 23 (vì 6 = 2 x 3; 2, 3 là những số nguyên tố và 2

Bài 1. Viết số 60 thành tích các hai số tự nhiên.

Giải. Ta có 60 = 1 x 60 = 2 x 30 = 3 x 20 = 4 x 15 = 5 x 12 = 6 x 10.

Bài 2. Viết số 100 thành tích các số nguyên tố.

Giải. Ta có 100 = 2 x 2 x 5 x 5.

Nhận xét. Thực hiện thuật toán Euclid, ta có 100 : 2 = 50, 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5.

Bài 3. Viết số 48 thành tích các số nguyên tố.

Giải. Ta có 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3.

Nhận xét. Thực hiện thuật toán Euclid, ta có 48 : 2 = 24, 24 : 2 = 12, 12 : 2 = 6, 6 : 2 = 3.

Mật mã ở đây là 22223.

Kết quả kỳ trước. Số a có 3 cách điền là 1, 3 và 5. Với mỗi cách điền số a thì bộ (b, c) có 4 cách điền. Sau đó, bộ số (d, e) có 2 cách điền. Ta có 3 x 4 x 2 = 24. Đáp số: 24. Trao giải 50.000 đồng/người cho bạn Trương Minh Sơn (lớp 6A9, THCS Nghĩa Tân).

Kỳ này. Tìm mật mã của số 1.000. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Số nguyên tố là gì ? Hàm tìm số nguyên tố

 

Tìm Số nguyên tố là một bài toán kinh điển trong lập trình. Vậy số nguyên tố là gì ?  Thường số nguyên tố sẽ được định nghĩa như sau; số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

Có nhiều cách tìm số nguyên tố. Chúng ta cùng làm rõ vấn đề này với oktot nhé.

Ví dụ 1: Viết chương trình kiểm tra số nguyên nhập vào từ bàn phím có phải là số nguyên tố hay không?

Thuật toán:

Đếm số ước của n.

So sánh số ước của n với 2. Nếu số ước bằng 2 thì đó là số nguyên tố, ngược lại không phải số nguyên tố

Code C/C++

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

void main()

{

int n, dem=0;

/*Nhập vào giá trị nguyên lớn hơn 2 cần kiểm tra có phải là số nguyên tố*/

do

{

printf(“n Nhap vao so nguyen N: “);

scanf(“%d”, &n);

}while(n<=2);

for (int i=1; i<=n; i++)

{

if (n%i==0)

{

dem ++;

}

}

if (dem==2)

{

printf(“Day la so nguyen to”);

}

else

{

printf(“Day khong phai la so nguyen to”);

}

getch();

}

Ví dụ 2: Viết chương trình tìm số nguyên tố nhỏ hơn N

Code C/C++

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

 

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

void main()

{

int n, i, j;

printf(“nNhap gia tri N : “);

scanf(“%d”, &n);

printf(“nCac so nguyen to nho hon n la : “);

for (i=2; i<n; i++)

{

for (j=2; j<i; j++)

if (i%j == 0)

break;

if (j == i)

printf(“%d “, i);

}

getch();

}

Ví dụ 3: Viết Hàm tìm số nguyên tố

  1. Input: 01 số nguyên dương n (kiểu int)
  2. Output: có hoặc không, đúng hoặc sai, true hoặc false => kiểu trả về là int (1: đúng, 0: sai)
  3. Thuật toán:Kiểm tra trong khoảng từ 2 đến n -1. nếu n chia hết một số bất kỳ nào đó thì h không phải là số nguyên tố, ngược lại n là số nguyên tố.

Code C/C++

Cách 1:

// hàm kiểm tra xem có phải là số nguyên tố hay không

int KTSoNT(int n)

{

if (a<=1)

return 0;

for(int i = 2 ; i<n ; i++)

if(n%i==0)

return 0;    // không phải SNT trả về 0

return 1;           // là SNT trả về 1

}

Cách 2:

bool KTSoNT(int n)

{

if (n < 2)

return false;

for (int i = 2; i<= n/2; ++i)

if (n % i == 0)

return false;

return true;

}

Xem thêm Nhập xuất mảng một chiều

Số nguyên tố là gì? Số siêu nguyên tố là gì? Số nguyên tố cùng nhau là gì

 

Số nguyên tố là gì? Số siêu nguyên tố là gì? Số nguyên tố cùng nhau là gì

 

 

 

 


 

error: Content is protected !!

 

 

Algorithm: Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không

 

Bài viết gốc: https://manhhomienbienthuy.bitbucket.io/2018/Jan/12/algorithm-primality-test.html (đã xin phép tác giả  )

Kiểm tra tính nguyên tố của một số luôn là một vấn đề “đau đầu”. Số nguyên tố luôn là một trong số những vấn đề toán học hấp dẫn, cũng vì thế mà các kỹ thuật kiểm tra số nguyên tố luôn luôn được phát minh, cải tiến nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay là tìm ra các số nguyên tố càng lớn càng tốt.

Trong bài viết này, tôi sẽ trình bày một số kỹ thuật kiểm tra tính nguyên tố của một số cho trước. Lưu ý, một số kỹ thuật trong bài viết này thực ra là kiểm tra tính hợp số, tuy nhiên, cũng dựa vào đó mà chúng ta có thể biết được một số có là số nguyên tố hay không.

Trước hết, xin nhắc lại một số kiến thức về định nghĩa số nguyên tố cũng như hợp số. Đây là những kiến thức chúng ta đều đã được học, nên bạn có thể bỏ qua phần này.

  • Số nguyên tố là một số tự nhiên dương có đúng hai ước là 1 và chính nó.
  • Hợp số là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó.

Với định nghĩa trên thì số 0, số 1 không phải số nguyên tố, cũng không phải là hợp số. Ngoài ra, các số tự nhiên khác, thì chỉ có thể là số nguyên tố hoặc hợp số. Vì vậy để kiểm tra tính nguyên tố của một số, chúng ta có thể kiểm tra gián tiếp thông qua tính hợp số của nó.

Hơi ngoài lề một chút, nhưng chúng ta có thể hiểu số nguyên tố là những số không thể phân tích thành tích của những số tự nhiên khác, vì chúng chẳng có ước nào như thế. Còn hợp số có thể phân tích thành thích của các số khác, có lẽ cái tên “hợp số” được đặt cũng vì lý do này. Phân tích hợp số thành nhân tử thì cuối cùng, chúng ta sẽ thu được một tích của toàn các số nguyên tố.

Đây chỉ là những kiến thức rất cơ bản, trong phần tiếp theo, tôi sẽ trình bày một số phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của một số.

Đây là một phương pháp cổ điển nhất và cũng dễ hiểu nhất. Phương pháp này hoàn toàn dựa trên những kiến thức mà chúng ta đã được học ở trường.

Ý tưởng của phương pháp này rất đơn giản: với một số n cho trước, kiểm tra các số trong khoảng [2, n – 1] nếu có số nào là ước của n thì nó là hợp số, còn lại nó là số nguyên tố. Trường hợp số 0, 1 quá rõ ràng nên không xét ở đây.

>>> def is_prime(n):
...     return not (n < 2 or any(n % i == 0 for i in range(2, n - 1)))
...
>>> [i for i in range(100) if is_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Phương pháp trên rất dễ hiểu nhưng chưa được tối ưu cho lắm. Để tối ưu hơn, chúng ta có thể giảm số vòng lặp bằng cách phương pháp như sau:

  • Không cần duyệt tất cả các số trong khoảng [2, n – 1] mà chỉ cần duyệt các số trong khoảng từ [2, sqrt(n)].
  • Không cần duyệt tất cả các số tự nhiên, chỉ cần duyệt các số nguyên tố trong khoảng đó là được.

Những lý thuyết này đã được chứng minh về mặt toán học, chúng ta cũng không cần sa đà vào chuyện đó làm gì. Ở đây chúng ta cần tìm cách vận dụng nó là đủ. Tuy nhiên, vấn đề ở đây là rất khó để có thể duyệt qua chỉ các số nguyên tố. Bởi vì điều đó đòi hỏi chúng ta phải có danh sách các số nguyên tố sẵn rồi.

Chúng ta có thể biến đổi điều này một chút như sau: Các số nguyên tố sẽ có dạng 6k ± 1 (ngoại trừ 2, 3) (không tin ư, bạn có thể tìm một phản ví dụ thử xem). Vì vậy chúng ta có thể kiểm tra việc chia hết cho 2, 3 trước rồi kiểm tra việc chi hết cho các số 6k ± 1 này.

>>> def is_prime(n):
...     if n in (2, 3):
...         return True
...     return not (n < 2 or
...                 n % 2 == 0 or
...                 n % 3 == 0 or
...                 any(n % i == 0 or n % (i + 2) == 0
...                     for i in range(5, int(n ** 0.5) + 1, 6)))
...
>>> [i for i in range(100) if is_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Chúng ta có thể dùng regular expression để kiểm tra tính nguyên tố của một số cho trước. Xem thêm ở đây

Ngoại trừ, 0 và 1 là các trường hợp đặc biệt, các trường hợp khác đều là số nguyên tố, hoặc hợp số. Giả sử n là một hợp số, thì sẽ tồn tại hai số tự nhiên sao cho n = a * b (với 1 < a, b < n).

Bây giờ, để áp dụng regular expression kiểm tra các số nguyên tố, chúng ta sẽ biểu diễn một số tự nhiên thành một string toàn chữ số 1 như sau:

0 = ''
1 = '1'
2 = '11'
3 = '111'
...

Các phép tính sẽ như sau:

1 + 2 = '1' + '11' = '111' = 3
2 * 3 = '11' * 3 = '111111' = 6

Với quy tắc như trên, chúng ta có thể kiểm tra một số có phải là hợp số hay không bằng regular expression. Chúng ta cần kiểm tra xem một số có thoả mãn biểu thức a * b hay không.

a sẽ được biểu diễn bằng một string, không rõ độ dài bao nhiêu, nhưng chắc chắn là lớn hơn 2. Vì vậy chúng ta sẽ dùng 11+ trong regex, sau đó chúng ta cần kiểm tra xem số a này có được lặp lại hay không (nghĩa là có tồn tại số b sao cho a * b = n hay không). Vì vậy chúng ta có thể dùng regex như sau ^(11+)1+$.

Tuy nhiên, regex như vậy chưa tối ưu lắm, chúng ta có thể tìm số a nhỏ nhất có thể bằng cú pháp tìm kiếm non-greedy trong regex như sau ^(11+?)1+$. Cuối cùng, chúng ta bổ sung thêm regex cho trường hợp đặc biệt là số 0 và 1 là được một regex hoàn hảo để kiểm tra tính nguyên tố của một số.

>>> import re
>>> def is_prime(n):
...     return not re.match(r'^1?$|^(11+?)1+$', '1' * n)
...
>>> [i for i in range(100) if is_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Các phương pháp ở phần trên cho chúng ta độ chính xác rất cao (100%), tuy nhiên, chúng có một nhược điểm là số vòng lặp quá nhiều. Vì vậy phương pháp đó chỉ thích hợp với những số tự nhiên nhỏ, với những số lớn hơn, dài tới hàng trăm chữ số, chúng ta cần một phương pháp hiệu quả hơn.

Trong phần này, tôi sẽ trình bày một số phương pháp nâng cao giúp chúng ta kiểm tra tính nguyên tố của một số. Cần lưu ý rằng, các phương pháp trong phần này không cho kết quả chính xác tuyệt đối mà chỉ cho chúng ta kết luận rằng một số cho trước có thể là số nguyên tố hay không. Tất nhiên, chúng ta sẽ cài đặt thuật toán sao cho tỉ lệ chính xác cao nhất có thể.

Phương pháp Fermat

Thực ra phương pháp này gọi là phương pháp Fermat nhưng không phải do Fermat nghĩ ra, mà là nó dựa vào định lý nhỏ Fermat để thực hiện. Nội dung định lý như sau:

Nếu n là một số nguyên tố thì với mọi số a nguyên tố cùng n, ta luôn có a ^ (n – 1) ≡ 1 (mod n) hoặc a ^ (n – 1) % n == 1

Thực ra Fermat chỉ đưa ra định lý chứ không chứng minh. Tuy nhiên, giờ đây, định lý đã được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau. Lưu ý rằng, định lý trên chỉ có một chiều, nghĩa là nếu n là số nguyên tố thì chắc chắn a ^ (n – 1) % n == 1 nhưng nếu a ^ (n – 1) % n == 1 thì n vẫn có thể là hợp số.

Từ định lý này, nếu ta muốn kiểm tra số n có là nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các số a < n và kiểm tra xem đẳng thức trên có đúng không. Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số. Nếu đẳng thức đúng với nhiều giá trị của a, ta có thể nói rằng n “có khả năng cao” là số nguyên tố. Tất nhiên là chúng ta sẽ tìm cách tăng “khả năng” này lên bằng cách thực hiện nhiều tính toán hơn.

>>> from random import randint
>>> loop_count = 5
>>> def is_prime(n):
...     return not (n < 2 or
...                 any(pow(randint(1, n - 1), n - 1, n) != 1
...                     for _ in range(loop_count)))
...
>>> [i for i in range(100) if is_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

Lưu ý rằng, kiểm tra bằng phương pháp này vẫn có thể cho kết quả sai (vì định lý nhỏ Fermat là một chiều như đã nói ở trên). Chúng ta có thể sử dụng phương pháp Fermat này khi cần thực hiện các tính toán nhanh với độ chính xác vừa đủ chấp nhận được. Ví dụ chúng ta dùng phương pháp này để lọc bớt một lượng lớn hợp số sau đó thực hiện kiểm tra nâng cao với những số “có thể là nguyên tố” còn lại thì lượng tính toán đã giảm đi đáng kể.

Phương pháp Miller – Rabin

Phương pháp Miller – Rabin là một phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của một số, thực chất là kiểm tra tính hợp số của nó. Như những kiến thức chúng ta đã học, một số tự nhiên lớn hơn 1 thì chắc chắn sẽ là số nguyên tố hoặc hợp số. Phương pháp này được cải tiến nhiều lần, và hiện nay nó là một phương pháp mang tính xác suất. Về cài đặt, nó cũng không phức tạp lắm.

Cơ sở lý thuyết của phương pháp này như sau:

  • Định lý nhỏ Fermat cho chúng ta biết rằng, nếu n là một số nguyên tố thì với mọi số a sao cho 1 <= a < n thì a ^ (n – 1) % n = 1.
  • n chắc chắn là số lẻ (đương nhiên, vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất mà 2 thì chúng ta không cần dùng đến phương pháp này). Vì n lẻ nên n – 1 là một số chẵn và nó có thể biểu diễn dưới dạng n – 1 = d * 2 ^ s, trong đó d là số lẻ và s > 0.
  • Nhờ hai điều trên, với một số bất kỳ trong khoảng [2, n – 2], thì a ^ (d * 2 ^ r) % n phải bằng 1.
  • Một tính chất toán học quan trọng khác, đó là nếu x ^ 2 % n = 1 có nghĩa là x ^ 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) % n = 0, vậy nếu n là số nguyên tố thì x + 1 hoặc x – 1 phải chia hết cho n.

Dựa trên lý thuyết như vậy, dưới đây là thuật toán của phương pháp này. Lưu ý rằng, phương pháp này cũng tương tự như phương pháp Fermat, chúng ta chỉ có kết quả là một số “có khả năng” là số nguyên tố chứ không thể chắc chắn 100% được.

write n − 1 as 2r·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1
WitnessLoop: repeat k times:
   pick a random integer a in the range [2, n − 2]
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then
      continue WitnessLoop
   repeat r − 1 times:
      x ← x2 mod n
      if x = 1 then
         return composite
      if x = n − 1 then
         continue WitnessLoop
   return composite
return probably prime

Độ chính xác của phương pháp sẽ tăng lên tuỳ thuộc vào số phép tử mà chúng ta thực hiện. Ngoài ra, nó còn phụ thuộc vào việc sinh các số ngẫu nhiên nữa.

>>> import random
>>> _mrpt_num_trials = 5
>>> def is_probable_prime(n):
...     assert n >= 2
...     if n == 2:
...         return True
...     if n % 2 == 0:
...         return False
...     s = 0
...     d = n - 1
...     while True:
...         quotient, remainder = divmod(d, 2)
...         if remainder == 1:
...             break
...         s += 1
...         d = quotient
...     assert 2 ** s * d == n-1
...     def try_composite(a):
...         if pow(a, d, n) == 1:
...             return False
...         for i in range(s):
...             if pow(a, 2**i * d, n) == n-1:
...                 return False
...         return True
...     for i in range(_mrpt_num_trials):
...         a = random.randrange(2, n)
...         if try_composite(a):
...             return False
...     return True
...
>>> [i for i in range(2, 100) if is_probable_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
>>> is_probable_prime(743808006803554439230129854961492699151386107534013432918073439524138264842370630061369715394739134090922937332590384720397133335969549256322620979036686633213903952966175107096769180017646161851573147596390153)
False
>>> is_probable_prime(643808006803554439230129854961492699151386107534013432918073439524138264842370630061369715394739134090922937332590384720397133335969549256322620979036686633213903952966175107096769180017646161851573147596390153)
True

Phương pháp Solovay – Strassen

Phương pháp Solovay – Strassen cũng là một phương pháp kiểm tra tính nguyên tố dựa trên xác suất. Tuy nhiên, phương pháp này tương đối khó hiểu do liên qua đến một số khái niệm sau:

Ký hiệu Legendre

Ký hiệu Legendre được định nghĩa cho một cặp số tự nhiên, a, p trong đó p là một số nguyên tố. Ký hiệu Legendre được viết là a/p là tính như sau:

      = 0    nếu  a % p = 0
(a/p) = 1    nếu tồn tại một số tự nhiên k sao cho k^2 % p = a
      = -1   với các trường hợp khác.

Euler đã chứng minh rằng

(a/p) = a ^ ((p - 1) / 2) % p

Ký hiệu Jacobian Symbol

Ký hiệu Jacobi là tổng quát hóa của Ký hiệu Legendre, trong đó thay p bằng một số tự nhiên n bất kỳ.

Nếu n = p1k1 * .. * pnkn thì ký hiệu Jacobian sẽ như sau:

(a/n) = ((a/p1) ^ k1) * ((a/p2) ^ k2) * ..... * ((a/pn) ^ kn)

Nếu n là một số nguyên tố thì ký hiệu Jacobian và ký hiệu Legendre sẽ bằng nhau. Ký hiệu Jacobian có một số tính chất như sau:

  • (a/n) = 0 nếu gcd(a, n) != 1.
  • (ab/n) = (a/n) * (b/n).
  • Nếu a là một số chẵn thì (a/n) = (2/n) * ((a/2)/n). Chúng ta dễ dàng thấy rằng:
      = 1 nếu n % 8  = 1hoặc n % 8 = 7
(2/n) = -1 nếu n % 8 = 3 hoặc n % 8 = 5
      = 0 với các trường hợp còn lại
  • Nếu cả a, n đều là số lẻ thì (a/n) = (n/a) * (-1)^((a-1) * (n-1) /4)).

Thuật toán

Với một số n cần kiểm tra tính nguyên tố, chúng ta chọn ra một số ngẫu nhiên trong khoảng [2, n-1] và tính Jacobian (a/n). Nếu n là số nguyên tố thì ký hiệu Jacobian phải bằng ký hiệu Legendre và bằng kết quả mà Euler đã chứng minh.

Tương tự như các thuật toán phía trên, thuật toán này dựa nhiều vào xác xuất, độ chính xác của nó phụ thuộc vào số phép thử mà chúng ta thực hiện cũng như việc sinh số ngẫu nhiên.

Cài đặt

>>> from random import randrange
>>> _sspt_num_trials = 10
>>> def is_probable_prime(p):
...     if p < 2:
...         return False
...     if p in (2, 3):
...         return True
...     if p % 2 == 0:
...         return False
...     def jacobian(a, n):
...         if not a:
...             return 0
...         ans = 1
...         if a < 0:
...             a = -a
...             if n % 4 == 3:
...                 ans -= ans
...         if a == 1:
...             return ans
...         while a:
...             if a < 0:
...                 a = -a
...                 if n % 4 == 3:
...                     ans = -ans
...             while a % 2 == 0:
...                 a = a // 2
...                 if n % 8 in (3, 5):
...                     ans = -ans
...             a, n = n, a
...             if a % 4 == 3 and n % 4 == 3:
...                 ans = -ans
...             a = a % n
...             if a > n // 2:
...                 a = a - n
...         if n == 1:
...             return ans
...         return 0
...     for _ in range(_sspt_num_trials):
...         a = randrange(2, p - 1)
...         x = (p + jacobian(a, p)) % p
...         y = pow(a, (p - 1) // 2, p)
...         if not x or y != x:
...             return False
...     return True
...
>>> [i for i in range(2, 100) if is_probable_prime(i)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
>>> is_probable_prime(743808006803554439230129854961492699151386107534013432918073439524138264842370630061369715394739134090922937332590384720397133335969549256322620979036686633213903952966175107096769180017646161851573147596390153)
False
>>> is_probable_prime(643808006803554439230129854961492699151386107534013432918073439524138264842370630061369715394739134090922937332590384720397133335969549256322620979036686633213903952966175107096769180017646161851573147596390153)
True

Kiểm tra tính nguyên tố của một số tự nhiên thực sự không phải là một công việc dễ dàng, nhưng tôi đảm bảo nó là một công việc thú vị. Hy vọng bài viết cung cấp cho các bạn nhiều phương thức khác nhau để làm điều đó, và một trong số chúng sẽ giúp ích cho các bạn trong công việc.

[Wiki] Hàm Kiểm Tra số nguyên tố trong C/C++ – writes

 

Số nguyên tố:

  • Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ngoài ra nó không chia hết cho bất cứ số nào khác. Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố. – Theo wiki
int soNguyenTo(int soA)
{
    if (soA < 2)    
        return 0;

    for (int i = 2; i <= sqrt((float)soA); i ++)
    {
        if (soA%i==0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}
#include <iostream>
using namespace std;
bool soNguyenTo(int);
bool soNguyenTo(int soA) // hàm bool trả về true/false
{
	if (soA < 2) // Nếu số A nhỏ hơn 2
	{
		return false;// trả về false
	}
	else if (soA>2)// Nếu số A lớn hơn 2
	{
		if (soA % 2 == 0)  // Xét xem A có chia hết cho 2 không?
		{
			return false;// Nếu chia hết, return false.
		}
		for (int i = 3; i < sqrt((float)soA); i += 2)  // xét từ 3 đến căn bậc 2 của số A
		{
			if (soA%i == 0)  // nếu A chia hết cho một số nào đó trong đoạn này
			{
				return false;// trả về kết quả sai
			}
		}
	}
	return true;// sau tất cả các chỗ trên, nó mà không sai thì cuối cùng nó đúng :3
}
int main(int argc, char ** argv)
{
	int n; // khai bao so kiem tra la so nguyen
	cout << "Nhap so can kiem tra?!" << endl;
	cin >> n; // nhap vao so nguyen tu ban phim
	if (soNguyenTo(n) == true)
	{
		cout << "So " << n << " la so nguyen to!!!!";
	}
	else
	{
		cout << "So " << n << " khong phai nguyen to!!!!";
	}
	system("pause");
	return 0;
}

Danh sách số nguyên tố – Wikipedia tiếng Việt

 

Bảng này gồm danh sách 1000 số nguyên tố đầu tiên và một số danh sách các số nguyên tố đặc biệt.

Một nghìn số nguyên tố đầu tiên[sửa | sửa mã nguồn]

Đây là danh sách một nghìn số nguyên tố đầu tiên.[1][2]

Bảng số nguyên tố
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451
1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583
1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889
1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053
2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213
2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287
2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357
2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531
2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687
2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819
2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999
3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181
3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331
3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511
3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571
3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727
3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821
3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989
4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139
4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231
4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297
4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493
4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583
4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831
4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003
5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087
5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179
5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279
5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387
5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521
5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639
5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693
5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791
5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857
5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053
6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133
6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221
6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301
6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367
6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571
6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673
6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833
6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917
6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103
7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207
7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297
7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411
7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499
7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643
7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723
7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829
7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919

Một số danh sách các số nguyên tố đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên tố Bell[sửa | sửa mã nguồn]

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837

Các số nguyên tố Carol[sửa | sửa mã nguồn]

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087

[1], [2]

Các số nguyên tố có dạng 10k + 1, k € Z (Centered decagonal primes)[sửa | sửa mã nguồn]

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361

Các số nguyên tố có dạng 14k + 1, k € Z (Centered heptagonal primes)[sửa | sửa mã nguồn]

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843 2003

Các số nguyên tố có dạng 4k + 1, k € Z (Centered square primes)[sửa | sửa mã nguồn]

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761

Các số nguyên tố có dạng 6k + 1, k € Z (Centered triangular primes)[sửa | sửa mã nguồn]

19, 31, 109, 199, 223, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2971

Các số nguyên tố Chen[sửa | sửa mã nguồn]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 419, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 487, 491, 499

Các số nguyên tố họ hàng[sửa | sửa mã nguồn]

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 441), (457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971), (1009, 1013), (1087, 1091)

Các số nguyên tố khối[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên tố khối có dạng (x3 − y3) / (x − y), x = y + 1:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227

Các số nguyên tố khối dạng (x3 − y3) / (x − y), x = y + 2:

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313

Các số nguyên tố Cullen[sửa | sửa mã nguồn]

3, 393050634124102232869567034555427371542904833

Các số nguyên tố Dirichlet[sửa | sửa mã nguồn]

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 409, 421, 433, 439, 457, 463, 487, 499.

Các số nguyên tố Mersenne kép[sửa | sửa mã nguồn]

Tới tháng 8-2005, mới chỉ biết các số nguyên tố Mersenne kép.

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727

Các số nguyên tố Eisenstein không có phần ảo[sửa | sửa mã nguồn]

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 311, 317, 347, 353, 359, 383, 389, 401, 419, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 491

Các số nguyên tố Euclid[sửa | sửa mã nguồn]

3, 7, 31, 211, 2311

Các số nguyên tố giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999

Các số nguyên tố Fermat[sửa | sửa mã nguồn]

Đến tháng 9-2005, mới chỉ biết các số nguyên tố Fermat.

3, 5, 17, 257, 65537

Các số nguyên tố Fibonacci[sửa | sửa mã nguồn]

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073

Các số nguyên tố Gauss[sửa | sửa mã nguồn]

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499

Số nguyên tố Genocchi[sửa | sửa mã nguồn]

17

[3], [4]

Các số nguyên tố Happy[sửa | sửa mã nguồn]

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563

Các số nguyên tố Higgs[sửa | sửa mã nguồn]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 167, 173, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 233, 251, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 311, 313, 317, 331, 347, 349, 359,

[5], [6]

Các Highly Cototient[sửa | sửa mã nguồn]

23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839

Các Số nguyên tố phi chính quy[sửa | sửa mã nguồn]

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491

Các số nguyên tố Kynea[sửa | sửa mã nguồn]

7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359

[7], [8]

Long primes[sửa | sửa mã nguồn]

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499

Các số nguyên tố Lucas prime[sửa | sửa mã nguồn]

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349

Các số nguyên tố Lucky[sửa | sửa mã nguồn]

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, 1009, 1021, 1039, 1087, 1093, 1117, 1123, 1201, 1231, 1249, 1291, 1303, 1459, 1471, 1543, 1567, 1579, 1597, 1663, 1693, 1723, 1777, 1801, 1831, 1879, 1933, 1987, 2053, 2083, 2113, 2221, 2239, 2251, 2281, 2311, 2467, 2473, 2557, 2593, 2647, 2671, 2689, 2797, 2851, 2887, 2953, 2971, 3037, 3049, 3109, 3121, 3163, 3187, 3229, 3259, 3301, 3307, 3313

Các số nguyên tố Markov[sửa | sửa mã nguồn]

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897

Các số nguyên tố McNugget[sửa | sửa mã nguồn]

13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Các số nguyên tố Mersenne[sửa | sửa mã nguồn]

Đến 23 tháng 8/2008, đã biết 47 số nguyên tố Mersenne (nếu tính cả trường hợp 21-1=1 là số đầu tiên; số thứ 47 có 12.978.189 chữ số), sau đây là 12 số đầu tiên. Số tiếp theo có 157 chữ số.

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727

Các số nguyên tố Motzkin

Code kiểm tra số nguyên tố trong C/C++ và Java kèm giải thích

 

Thuật toán kiểm tra số nguyên tố - Nguyễn Văn Hiếu Blog

Phát biểu bài toán kiểm tra số nguyên tố: Cho một số nguyên x nhập từ bàn phím. Hãy kiểm tra xem số x có phải số nguyên tố hay không? Hãy cùng blog Nguyễn Văn Hiếu đi tìm đáp án nhé.

Khái niệm số nguyên tố

Số nguyên tố là số nguyên dương có duy nhất 2 ước phân biệt là 1 và chính nó. Lưu ý: Số 1 không phải số nguyên tố do chỉ có 1 ước.

Thuật toán kiểm tra số nguyên tố - Nguyễn Văn Hiếu Blog

Ý tưởng kiểm tra số nguyên tố

  1. Nếu số đó bé hơn 2, kết luận không phải số nguyên tố.
  2. Đếm số ước của x trong đoạn từ 2 đến căn bậc hai của x. Nếu số đó không có ước nào trong đoạn từ 2 đến căn bậc hai của x thì nó là số nguyên tố. Ngược lại thì không phải. Như vậy, nếu bạn đếm từ 1 thay vì 2 thì x là số nguyên tố khi ta đếm được 1 ước số trong đoạn từ 1 đến căn bậc hai của x.

Tại sao lại chỉ đếm các ước trong đoạn từ 2 đến căn của x?

Nếu bạn để ý thì một số nguyên >= 2 bất kỳ sẽ luôn có số ước ở nửa đầu căn bậc 2 của nó bằng số ước ở nửa sau căn bậc 2 của nó. Cụ thể, các ước sẽ phân bố thành 2 miền từ [2; sqrt(x)] và từ [sqrt(x); x].

Chú ý: Khi kiểm tra bạn nhớ phải là <= sqrt(n) nhé. Nếu chỉ để dấu nhỏ hơn thì các số chính phương như 4, 9 sẽ là số nguyên tố đấy. Tại sao thì bạn thử giải thích xem nào.

for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++)

Ví dụ minh họa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Với số 12. ta có sqrt(12) xấp xỉ bằng 3.464

Đoạn [1; 3.464] có ước 1, tương ứng đoạn [3.464; 12] có ước 12 // 1 * 12 = 12

Đoạn [1; 3.464] có ước 2, tương ứng đoạn [3.464; 12] có ước 6  // 2 * 6 = 12

Đoạn [1; 3.464] có ước 3, tương ứng đoạn [3.464; 12] có ước 4  // 3*4 = 12

Trong đoạn [2; 3.464] số 12 chia hết cho 2 số(2,3)

=> 12 không là số nguyên tố

Với số 9, ta có sqrt(9) = 3

Đoạn [1; 3] có ước 1, tương ứng đoạn [3; 9] có ước 9 // 1*9 = 9

Đoạn [1; 3] có ước 3, tương ứng đoạn [3; 9] có ước 3 // 3*3 = 9

Trong đoạn [2; 3] số 9 chia hết cho 1 số(3)

=> 9 không là số nguyên tố

Với số 7, ta có sqrt(7) xấp xỉ bằng 2.646

Trong đoạn từ [2;2.646] không có số nguyên nào mà 7 chia hết

=> 7 là số nguyên tố.

Dành cho bạn: Tự học lập trình Winform C# qua 10 ứng dụng thực tế

Code minh họa thuật toán kiểm tra số nguyên tố

Sau đây mình sẽ triển khai code minh họa sử dụng C/C++, Java và Python cho các bạn. Các bạn nên tự thử trước khi xem lời giải. Không nên copy code =))

Kiểm tra số nguyên tố sử dụng C

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

// Code from https://nguyenvanhieu.vn

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main(){

int n;

printf(“nNhap n = “);

scanf(“%d”, &n);

if(n < 2){

printf(“n%d khong phai so nguyen to”, n);

return 0;

}

int count = 0;

for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++){

if(n % i == 0){

count++;

}

}

if(count == 0){

printf(“n%d la so nguyen to”, n);

}else{

printf(“n%d khong phai so nguyen to”, n);

}

}

Kiểm tra số nguyên tố sử dụng C++

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

// Code from https://nguyenvanhieu.vn

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main(){

int n;

cout << “nNhap n = “;

cin >> n;

if(n < 2){

cout << n << ” khong phai so nguyen ton”;

return 0;

}

int count = 0;

for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++){

if(n % i == 0){

count++;

}

}

if(count == 0){

cout << n << ” la so nguyen ton”;

}else{

cout << n << ” khong phai so nguyen ton”;

}

}

Kiểm tra số nguyên tố sử dụng Java

Giải toán 6 bài 14: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

 

Để học tốt Toán lớp 6, phần dưới là các bài giải bài tập sách giáo khoa Toán 6 Tập 1 Bài 14: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố. Bạn vào tên bài để tham khảo lời giải chi tiết.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Giải bài tập Toán lớp 6 | Để học tốt Toán 6 của chúng tôi được biên soạn bám sát theo chương trình Sách giáo khoa Toán 6 (Tập 1 & Tập 2) và một phần dựa trên cuốn Giải bài tập Toán 6.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Leave your Comment